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剪绳子

scorlw 发布于

剪绳子

关键词：位运算

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

1
2
3
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例2：

1
2
3
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

思路

思路一：

暴力递归(超出时间限制)

我们往往会在头脑中形成一种很直观的暴力解法，就是列举出所有的情况，找到乘积最大的那个解。

设 F(n)为长度为 n的绳子可以得到的最大乘积，对于每一个 F(n))，可以得到如下分解：

1

从上图看出我们可以把求解 F(n)的问题分解成求解 F(n−1) 的问题，以此类推，直到求解到 F(2)时，F(2)=1，递推回去，问题就得到了解决。这用到的就是分治的思想。

分治思想的解决方法往往是递归，注意到我们每次将一段绳子剪成两段时，剩下的部分可以继续剪，也可以不剪， 因此我们得到了递归函数

F(n)=max(i×(n−i),i×F(n−i)),i=1,2,…,n−2。

复杂度分析

时间复杂度：O(N^2)，对于每一个 i调用一次递归，递归的时间复杂度为 O(N)，故时间复杂度为 O(N^2)。

空间复杂度：O(N^2)。

思路二：

记忆化技术（自顶向下）

上述暴力解法会超时，但是很多进阶解法往往是暴力解法的优化。注意到上述代码中超时的原因主要是因为重复计算了 F(n)，为了避免重复计算可以使用 记忆化（memoization）技术。

记忆化技术的代码中经常需要建立函数 memoize 辅助实现。我们使用数组 f 来保存长度为 i时的最大长度 f[i]，最后返回 f[n]即可。

复杂度分析

时间复杂度：O(N^2)，原因同上，时间复杂度仍然为 O(N^2)，只是采用记忆化减少部分计算时间

空间复杂度：O(N)，使用了数组f。

思路三：

动态规划（自底向上）：（本地成功，力扣失败，报错超了int 的范围）

同样地，我们也可以使用动态规划，从已知值 F(2)逐步迭代到目标值 F(n)，它是一种自底向上的方法。

算法

建立一维动态数组 dp：

​ 边界条件：dp[1] = dp[2] = 1，表示长度为 2 的绳子最大乘积为 1；

​ 状态转移方程：dp[i] = max(dp[i], j * max(i - j, dp[i - j]))，可以这样理解：

2

复杂度分析

时间复杂度：O(N^2).

空间复杂度：O(N)。

思路四：

动态规划优化解法

算法

我们发现任何大于 3 的数都可以拆分为数字 1，2，3 的和，且它们对 3 的余数总是 0，1，2，因此我们可以仅用 dp[0]，dp[1]，dp[2] 表示所有大于 3 的值，这样空间复杂度可降到 O(1)。

3

这样重复使用 dp 数组，只须一趟遍历即可完成，可使时间复杂度降到 O(N)。

复杂度分析

时间复杂度：O(N).

空间复杂度：O(1)。

思路五：

数学方法（在面试时尽量按照常规思路去解）

贪心法则：尽可能分解出多的 3，3 的个数为 a，得到余数 b 可能为 0，1，2：

b = 0，返回 3^a；
b = 1，我们将末尾的 3+1 分解成 2×2，因此返回 3 < 4
b = 2，返回 3^a×2；

代码

思路一：

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int cuttingRope(int n)
{
    if(n == 2) return 1;
    int res = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        res = max(res, max(i * cuttingRope(n - i), i * (n - i)));
    }
    return res;
}

思路二：

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class Solution
{
public:
    int f[59] = {0};//因为n的范围是2-58，数组的开始是0，所以数组的大小可以设为59。
    //vector<int> f;//也可以使用vector
    //vector<int> f(59,0);//error!报错：应输入类型说明符。因为在.h文件中不能调用vector的构造函数来进行赋值（但是在下面的具体函数实现中可以）

    int memoize(int n)//记忆函数，将每次计算结果保存在数组f中
    {
        //if(n < 2 || n > 58) return 0;//如果上面的数组定义大小为57，下面代码使用f[n - 2]的话，这句需要加上
        if (n == 2)
            return 1;
        if (f[n] != 0)
            return f[n];
        int res = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            res = max(res, max(i * (n - i), i * memoize(n - i)));
        }
        f[n] = res;
        return res;
    }

    int cuttingRope(int n)
    {
        if (n == 2)
            return 1;
        int res = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            res = memoize(i);
        }
        return res;
    }
};

思路三：

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int cuttingRope(int n)
{
    if(n < 2 || n > 58) return 0;
    if(n == 2) return 1;
    int dp[n + 1];//int dp[n + 1] = {0};error!因为变长度的数组不能在声明时初始化。
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 1;//因为m > 0 所以 n = 2的话一定要剪成1、1.
    for(int i = 3;i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= i; j++){
            dp[i] = max(dp[i], j * max(i - j, dp[i - j]));//dp[i - j]并不包括i - j（因为必须剪）
        }
    }
    return dp[n];
}

思路四：

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int cuttingRope(int n)
{
    if(n < 2 || n > 58) return 0;
    if(n == 2) return 1;
    int dp[3] = {0, 1, 1};
    for(int i = 3; i <= n; i++){
        dp[i % 3] = max(max(max(dp[(i - 1) % 3], i - 1),
        2 * max(dp[(i - 2) % 3], i - 2)),
        3 * max(dp[(i - 3) % 3], i - 3));
    }
    return dp[n % 3];
}

思路五：

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int cuttingRope(int n)
{
    if(n < 2 || n > 58) return 0;
    if(n < 4) return n - 1;
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if(b == 0) return pow(3, a);//pow需要#include <cmath>
    else if(b == 1) return pow(3, a - 1) * 4;
    else if(b == 2) return pow(3, a) * 2;
}

知识点

  1. max函数
  2. vector的用法
  3. c++数组